Optimale Handelsstrategien für Ito Diffusionsprozesse William Karel Bertram ITG Australien Limited Physica A: Statistische Mechanik und ihre Anwendungen, Bd. 388, pp. 2865-2873, 2009 Zusammenfassung: In dieser Arbeit stellen wir eine Methode zur Bestimmung von optimalen Handelsstrategien für Ito-Diffusionsprozesse vor. Indem wir das Problem in Bezug auf die erste Durchlaufzeit für den Prozess gestalten, leiten wir Verteilungs - und Dichtefunktionen für die Handelslänge ab und verwenden diese Funktionen, um die erwartete Handelsfrequenz für die Strategie zu berechnen. Als Funktion der Rendite pro Handel und Handelsfrequenz werden der Erwartungswert und die Varianz der Profitrate ermittelt. Wir präsentieren zwei Maßnahmen für den Handelsabbau, die als Einschränkungen bei der Bestimmung einer optimalen Strategie verwendet werden können. Die optimale Strategie wird für den Ornstein-Uhlenbeck-Prozess berechnet, indem die erwartete Profitrate maximiert wird. Anzahl der Seiten im PDF-Format: 17 Stichworte: Econophysik, Stochastische Prozesse, Durchlaufzeit JEL Klassifizierung: C6, C0 Datum der Veröffentlichung: 2. April 2009 Letzte Änderung: 11. Mai 2009 Vorgeschlagenes Zitat Bertram, William Karel, Optimale Handelsstrategien für Ito Diffusion Prozesse. Physica A: Statistische Mechanik und ihre Anwendungen, Bd. 388, pp. 2865-2873, 2009. Erhältlich bei SSRN: ssrn / abstract 1371903 Kontaktinformationen William Karel Bertram (Contact Author) Einreichung zu jedem Zeitpunkt der verbindlichen Vorschläge zum Kauf oder Verkauf einer bestimmten Menge eines Vermögenswertes. Diese Art der Auktion ist sehr verbreitet und die meisten Börsen werden heute mit computergesteuerten CDAs betrieben, die die Liquiditätsversorgung, den effizienten Austausch und die rasche Integration neuer Informationen in die Preise fördern. Selbst ohne Berücksichtigung von mehr oder weniger relevanten protokollarischen Details und Umsetzungsminutien ist die formale Analyse von CDAs aufgrund der gigantischen Zahl von Optionen, die den Händlern zur Verfügung stehen, schwierig. Echte Händler reagieren nur ein paar Dinge auf exogene Informationen, stornieren und reichen Aufträge, manchmal in Bruchteilen einer Sekunde, reagieren auf endogene Schwankungen im Zustand des Buches und erarbeiten verschiedene Strategien, die sowohl Mengen als auch Grenzpreise nutzen . Es ist nicht überraschend, dass der Handel in einer derartigen Umgebung schwierig und nicht leicht der Analyse in voller Allgemeinheit zugänglich ist. Einige analytische Modelle vereinfachen daher das Setup, um geschlossene Lösungen zu erhalten, siehe Foucault, 1999, Foucault et al. 2005, Rosu, 2009. Diese Papiere betrachten nur wenige verschiedene Arten von Händlern, deren intrinsische Motivation zum Handel ist Ungeduld. Agenten, die in der Regel nur eine Einheit austauschen, sind in einem unendlichen Fluss angeordnet, zahlen eine Verzögerung bei der Ausführung und können zwischen Markt - und Limitaufträgen wählen. Die Hauptlektion, die wir aus so clever gestalteten und analytischen Modellen lernen, ist, dass ungeduldige Händler immer Liquidität einnehmen und Marktanweisungen einreichen, während Patientenagenten immer Liquidität bieten und weniger aggressive Limit Orders platzieren. Dieses Ergebnis wird manchmal mit heroischen Annahmen, wie die Verpflichtung zur Verbesserung der erhaltenen Gebot / fragen oder Betrachtung abgeschnittenen Bücher erhalten. Parlor, 1998 ist ein Gleichgewichtsmodell eines 2-tick Buches mit Agenten, die stattdessen ein Kontinuum von Werten und Kosten haben. Unter Zeitlimitierungen nutzen Händler strategische Marktaufträge oder quittieren ihre Limitorder je nach Bewertung und Restlaufzeit, bevor der Markt schließt. Dieses analytische Modell wurde dann in realistischeren Situationen verallgemeinert, wo numerische Methoden verwendet werden, um das dynamische Markov-perfekte Gleichgewicht zu bestimmen, Goettler et al. 2005. Die strategische Akquisition von Informationen wird in Goettler et al. 2009. Agenten in unserem Modell haben heterogene private Werte oder Kosten und Handel zu maximieren ihren Gewinn in Sitzungen, wo nur wenige Agenten beteiligt sind. Daher fühlen sie explizit eine Form von Zeitdruck, in dem übermäßige Vorsicht kann in keinem Handel aufgrund der Schließung des Marktes führen, wenn die letzten Händler wie kommen. Dieses zeitbezogene Merkmal fügt zu dem Standard-Unmittelbarkeits - / Wirksamkeits-Kompromiß hinzu, der in einem CDA konfrontiert ist: Agenten können sofort durch Einreichen eines marktfähigen Auftrags handeln, aber sie müssen den nachteiligsten (zu ihnen) aktuellen Preis in dem Buch alternativ akzeptieren, Können sie eine effektivere Limitreihenfolge vorgeben, die von der (ungewissen) zukünftigen Ausführung bevorzugt ist. Wir erlauben es den Händlern, Aufträge zu erteilen, deren Limitpreise auf einer äußerst einfachen Strategie beruhen, die nur die Quotes zum Zeitpunkt der Einreichung berücksichtigt. Die Strategie ist linear im besten Gebot und am besten fragen und hängt vom Typ des Händlers ab (d. H. Von seinem Wert oder seinen Kosten). Streng genommen können unsere Agenten nur Limit Orders einreichen. Die Einreichung eines marktfähigen Auftrags führt jedoch zur sofortigen Ausführung zum besten Angebot und ist somit gewinnorientiert einer Marktorder. Unser Modell kann als stochastisches dynamisches Spiel mit vielen heterogenen Agenten interpretiert werden. Auf der ersten Seite lösen wir gleichzeitig mehrere stochastische Optimierungsprobleme, eine für jeden Typ. Das resultierende Gleichgewicht ist dann das Ergebnis von unabhängigen egoistischen Maximierungen durch die Gruppen verschiedener Agenzien. Andererseits kann man auf die Suche nach einem Nash-Gleichgewicht in Abwesenheit einer Normalform-Auszahlungsmatrix denken. Daher müssen erwartete Gewinne aus dem Handel iterativ mit dem Optimum geschätzt werden. Das Papier erreicht einige neuartige Ergebnisse. Erstens, im Gleichgewicht der ungeduldigsten Händler, mit hohen Werten oder niedrigen Kosten, nicht immer einreichen Marktaufträge. In einer verwandten Art und Weise ist es manchmal optimal, für einige Patiententypen, Marktaufträge zu erteilen. Zweitens nehmen Agenten meistens den Zustand der Gegenseite des Marktes in Betracht, reduzieren aber in geringerem Maße ihr Verhalten auch auf der eigenen Seite. Drittens charakterisieren wir die Zustände des Buches im Gleichgewicht und beschreiben die daraus resultierenden Transaktionspreise. Insbesondere fanden wir, dass die Gleichgewichtszustände eine ziemlich kleine Gruppe bilden, die den allgemeinen Geschmack, der aus anderen Arbeiten resultiert, bestätigen, dass trotz des Fluches der Dimensionalität ähnliche Probleme angegangen werden können. Das Papier ist wie folgt organisiert. Abschnitt 2 entwickelt das Modell, definiert die Regeln der CDA und beschreibt die Agenten und ihre eingeschränkten linearen Strategien. Der dritte Abschnitt widmet sich der Darstellung unserer numerischen Ergebnisse. Wir beschreiben zunächst die optimalen Strategien und präsentieren dann die wichtigsten statistischen Merkmale des Preises und des Buches. Wir zeigen auch visuell die Aggressivität der Ordnungen im Gleichgewicht, wobei eine Klassifikation erinnert an Biais et al. 1995. Die Details des Evolutionären Strategien (ES) Algorithmus, der verwendet wird, um das Gleichgewicht zu berechnen, werden auf den Anhang verschoben. Schließlich faßt Abschnitt 4 zusammen und schließt. Auf die Agenten und auf ihre Gebotsfunktionen. Agenten Agenten sind heterogen und Gesicht Ungewissheit in der Zeit geben sie den Markt und nicht die Typen der anderen Händler kennen. Darüber hinaus verwenden sie einen eingeschränkten Satz von linearen Strategien, die auf einem einfachen Informationssatz basieren. Wir nehmen an, dass Agenten in einer CDA in wiederholten Sitzungen handeln. In jeder Sitzung treten sie auf dem Markt in einer zufälligen Reihenfolge (probiert von der Natur), die ihnen unbekannt ist. Wenn sie an der Reihe sind, müssen sie anonym einen Limitauftrag für eine Einheit eines Vermögenswertes unter Angabe eines Reservierungspreises (zu kaufen oder zu verkaufen) vorlegen. Sie haben keine andere Chance zu handeln oder ändern oder stornieren die Bestellung während der Sitzung. Es wird praktisch sein, an die Wendung zu denken, in die der Händler als eine Position in der Warteschlange oder als Zeit t eingibt. Nehmen Sie an, der Agent ist ein Käufer, der das Angebot B t. Seine Bestellung ist mit den Verkaufsvorschlägen bereits im Buch, wo die Grenzpreise l 1 l 2. sind gelagert. Wenn das Gebot die beste Nachfrage kreuzt, d. h. B t l 1, tritt eine Transaktion auf, und das Verkaufsbuch wird aktualisiert, indem die gerade ausgefüllte Bestellung mit dem Preis l 1 gelöscht wird, andernfalls wird B t in das Buch von noch ungefüllten Kaufaufträgen eingefügt. In ähnlicher Weise wird, wenn ein Verkäufer eine Frage A t zum Zeitpunkt t einreicht, die Bestellung gegen die Käufervorschläge mit Grenzpreisen l 1 l 2 abgestimmt. Und eine Transaktion tritt sofort ein, wenn A t l 1 ist. In diesem Fall wird das (kaufende) Buch durch Löschen der Bestellung, deren Preis l l ist, aktualisiert, andernfalls wird die ungefüllte Frage in das Buch der Verkäufer gestellt. Wie üblich, werden Aufträge in die Bücher eingeführt, die Preispriorität bewahren, und Bindungen werden unter Verwendung der Zeitpriorität gebrochen. Schließlich werden alle nicht ausgefüllten Aufträge am Ende der Börsensitzung gelöscht. Diese Beschreibung erfasst die meisten wesentlichen Merkmale eines CDA, in dem jeder (positive) Höchstpreis jederzeit dem Markt zur sofortigen Ausführung vorgelegt werden kann, wenn er ein Gegenstück findet oder für künftige Verwendung bis zum Ende der Sitzung gespeichert wird . Wir gehen davon aus, dass es n Käufer und n Verkäufer, zufällig aus einem größeren Pool von N Käufer und N Verkäufer. Jeder Agent hat eine einzelne Einheit zu kaufen oder eine einzelne Einheit zu verkaufen in jeder Trading Session. Alle Agenten sind mit privat bekannten Werten oder Kosten ausgestattet. Im Einzelnen kann der i-te Käufer eine Einheit des Vermögenswertes für die Summe v i V einlösen. Sein Gewinn, bedingt durch den Handel, ist dann v i p, das individuelle Gebot schneidet die dicke Linie der besten Forderung). Die numerischen Ergebnisse zeigen in dieser Hinsicht eine wichtige Neuheit im Vergleich zu einigen der zuvor erwähnten Arbeiten, wo ungeduldige Händler immer auf den Markt kommen: selbst der aggressivste Käufer kann Limit Orders einreichen, und dies geschieht höchstwahrscheinlich im ersten Teil der Session . In diesen Fällen ist es optimal, die Ausbreitung zu schließen und aggressive Angebote zu setzen, die 0,5 überschreiten, anstatt die teuren Fragen auf der anderen Seite zu akzeptieren. Eine sehr ähnliche Analyse könnte für die niedrigste Kosten-Verkäufer s fragen, die in der Position sinkt, so dass mehr aggressiv in der Nähe der Ende der Sitzung durchgeführt werden. Wir überspringen, für die Kürze, ähnliche Kommentare, die für andere intramarginal Käufer oder Verkäufer gemacht werden könnte. Wir betonen, dass Abbildung 4, obwohl aufschlussreich, nicht den deterministischen Zustand der Funktion der Position in der Warteschlange (dicke Linien) darstellt. Die Angebote und Fragen des Käufers mit v 0.95 und der Verkäufer mit c 0.05 als Funktionen des Position Buches, noch das Verhalten der Agenten, sondern nur Mittelwerte. Angesichts der stochastischen Natur der Auktion kann es gut sein, dass sich der Zustand des Buches von dem abgebildeten unterscheidet, und daher kann das Gebot oder die Forderung in vielen spezifischen Fällen erheblich von den dünnen Linien abweichen. Zusätzliche Erkenntnisse können mit Blick auf die Art der Ordnung, die für verschiedene Akteure durch die Strategien der Tabelle 1 erzeugt wird, betrachtet werden. Insbesondere ist es interessant, den Grad der Aggressivität des Auftrages bei einem bestimmten Zustand des Buches zu bestimmen Vor der Einreichung. Inspiriert durch die Klassifizierung von Biais et al. 1995 betrachten wir Markt (fähig), verbesserte und schwache Aufträge. Die erste und aggressivste Art der Bestellung hat ein Gebot, das die beste ausstehende Frage übersteigt oder eine unter dem ausstehenden Gebot verlangt. Folglich trifft die Reihenfolge auf die andere Seite des Buches, die in unmittelbarer Ausführung endet. Die zweite Art der Vorlage verbessert das Zitat (Erhöhung der besten Bid oder Senken der besten fragen) ohne Ausführung. Diese Art von Aufträgen verengen die Verbreitung und gewinnen Priorität auf einer der beiden Seiten des Buches. Schließlich ist die dritte Sorte eine Ordnung, deren Angebot oder Frage versteckt sich hinter den besten hervorragenden Zitaten. Ein solches Angebot wird als schwach bezeichnet, weil es nicht einmal Priorität erhält und der Auftrag vielleicht erst nach Ausführung von aggressiveren Vorschlägen, die sich bereits im Buch befinden, ausgefüllt wird. In denen sie das Buch schließen und keine Blutsaugbedingungen akzeptieren. Zur gleichen Zeit, Patienten Händler, die in der Regel bieten Liquidität mit Limit Orders, kann das Geschäft in den wenigen Fällen, in denen es möglich ist, zu stehlen. Wir fühlen beide Eigenschaften realistisch und nicht leicht in anderen analytischen Arbeiten gefunden, siehe zum Beispiel Foucault, 1999, Foucault et al. 2005 und Rosu, 2009. In solchen Modellen ist jedoch das extreme Verhalten der intramarginalen (d. H. Ungeduldigen) Händler für die Traktierbarkeit erforderlich. Die unvermeidliche Annahme, dass die Kosten des Wartens entweder sehr hoch oder sehr niedrig sind, was effektiv zu nur zwei Arten von Händlern führt, ist eine Vorrichtung zum Schließen des Modells. In dieser Hinsicht verallgemeinern unsere Arbeit die Einrichtung, wodurch mehr Grade der Ungeduld durch unterschiedliche Werte und Kosten ermöglicht werden. Infolgedessen können flexiblere Ergebnisse erzielt werden, aber andererseits macht dies eine analytische Lösung schmerzlich schwierig (oder unmöglich), und wir müssen nur auf numerische Methoden angewiesen sein. In unserem Gleichgewicht, Angebote hängen von beiden Seiten des Buches, mit Händlern im Allgemeinen empfindlicher auf die gegenüberliegende Seite des Marktes. Diese Merkmale sind in vielen anderen Gleichgewichtsmodellen vorhanden und impliziert, dass es optimal ist, die vorhandenen Anführungszeichen zu verbessern, wenn die Ausbreitung groß ist. Der Satz von Gleichgewichtszuständen ist verhältnismäßig kleiner und während einige Bedingungen häufig sind, werden andere Zustände des Buches praktisch nie angetroffen. Diese Tatsache hat praktische und technische Bedeutung, da sie betont, dass optimale Strategien grundsätzlich zu einem kleinen Satz von wiederkehrenden Zuständen passen. Darüber hinaus ist dies ermutigend, da die rechnerische Komplexität des Auffindens einer Lösung deutlich reduziert werden kann, wenn die Unterstützung des Gleichgewichts gering ist. In unserem Rahmen, ähnlich einem dünnen Markt, wegen der kleinen Anzahl von Händlern, bedeutet dies, dass es im Grunde genommen nur zwei Familien von Staaten gibt: eine Reihe von Anfangskonfigurationen, in denen das Buch leer oder spärlich ist und ein Satz von reiferen Staaten, Wo Agenten ein komplettes Buch mit kleinen Spread und wettbewerbsfähigen Angeboten. Das Gleichgewicht wird unter Verwendung eines Evolutionsstrategien-Optimierungsalgorithmus gefunden, bei dem Gruppen von verschiedenen Agenzien die Gewinne aus dem Handel getrennt maximieren. Die Methode verwendet einen endogenen (meta) - Parameter, bezogen auf die Mu - tationsrate, der es ermöglicht, den Fortschritt seiner Konvergenz zu einem beständigen Beyer und Schwefel, 2002 Beyer, H.-G. Und Schwefel, H.-P. (2002). Evolutionsstrategien: eine umfassende Einführung. Nature Computing, 1: 3 52. Biais et al. 1995 Biais, B. Hillion, P. und Spatt, C. (1995). Eine empirische Analyse des Limit Orderbuchs und der Order ow in der Pariser Börse. Optimale Handelsstrategie für einen Investor: der Fall der partiellen Informationen Abstract Wir wollen hier das Optimierungsproblem eines Investors ansprechen, der das erwartete Nutzen aus dem Terminal Reichtum maximieren möchte. Die Neuheit dieser Arbeit ist, dass der Driftprozess und die treibende Brownsche Bewegung, die in der stochastischen Differentialgleichung für die Sicherheitspreise auftritt, für die Marktteilnehmer nicht als beobachtbar angesehen werden. Anleger beachten nur die Sicherheitspreise und Zinssätze. Der Driftprozess wird durch einen Gaußschen Prozess modelliert, der in einem speziellen Fall zu einem multidimensionalen Mittelwert des Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses wird. Das Hauptergebnis der Arbeit ist eine explizite Darstellung für die optimale Handelsstrategie für eine breite Palette von Nutzenfunktionen. Keywords Utility-Funktion Sicherheitspreise und ihre Filtration Trading-Strategie Optimierung Gradient-Operator Clark s Formel 1. Einleitung In diesem Papier lösen wir ein Nutzenmaximierungsproblem eines Investors, der den erwarteten Nutzen aus dem endgültigen Wert seines Portfolios maximieren möchte Zeitintervall 0, T. Wir gehen davon aus, dass es in den obigen Papieren N-riskante Wertpapiere gibt (S 1 (t)). Es ist eindeutig realistischer, dass die Anleger nur partielle Informationen haben, da die Preise und Zinssätze veröffentlicht und der Öffentlichkeit zugänglich sind Und die Pfade der Brownschen Bewegungen sind bloße mathematische Werkzeuge für die Modellbildung, aber sicherlich nicht beobachtbar. Die Tatsache, dass Investoren nur partielle Informationen haben, wird modelliert, indem sie erfordert, dass die Handelsstrategien an die Filtration angepasst werden, die durch die Sicherheitspreise erzeugt wird Das Problem der Teilinformation wurde bereits in Lakner (1995) diskutiert, wo eine Formel für das optimale Niveau des endständigen Vermögens vorgestellt wurde und die Existenz einer entsprechenden Handelsstrategie gezeigt wurde Der Driftprozess wird ein Gauss'scher Prozess sein, der durch ein System linearer stochastischer Differentialgleichungen modelliert wird, wobei die treibende Brownsche Bewegung unabhängig von der ist, die in der Gleichung für die Sicherheitspreise erscheint Wird ein Spezialfall zu einem multidimensionalen Ornstein aus der entsprechenden Formel im Vollinformationsfall durch Ersetzen von m für. Es wird jedoch gezeigt werden, dass die formale Substitution von m für die Rückkopplungsform der optimalen Handelsstrategie im Vollinformationsfall mit der Energieversorgungsfunktion nicht die richtige Formel für die optimale Handelsstrategie im Teilinformationsfall liefert. (Siehe auch Browne und Whitt (1996) für ein ähnliches Beispiel in einem diskreten Zeitmodell.) Weitere Informationen finden sich in Gennote (1986). Dothan und Feldman (1986). Detemple (1991) beschrieben. Und in der Dissertation von Honda (1998). Die Berechnung der optimalen Handelsstrategie besteht grundsätzlich darin, den Integrand in der stochastischen Integralrepräsentation des optimalen Endvermögens zu finden. Die hier verwendete Technik beinhaltet den Gradientenoperator D. Wie in Ocone und Karatzas (1991). In dem die optimale Handelsstrategie unter vollständiger Information unter Verwendung derselben Technik berechnet wird. Wir verwenden dieses Papier als Basisreferenz für Informationen über den Gradientenoperator. Die optimale Handelsstrategie wurde für den Fall von Browne und Whitt (1996) für den logarithmischen Nutzen und für Lakner (1994) für allgemeine Nutzfunktionen erarbeitet. Das Wort Bayesean bedeutet hier eine unbeobachtete Zufallsvariable mit einer bekannten vorherigen Verteilung. Die Organisation und grundlegende Inhalt der Zeitung ist die folgende. In Abschnitt 2 beschreiben wir das Marktmodell und erinnern an die allgemeine Formel für den optimalen terminalen Reichtum. Dies beinhaltet einen Prozess, der die bedingte Erwartung des Radon-Bucy-Filters ist. Als nächstes wird der Hauptsatz angeführt, der unsere Formel für die optimale Handelsstrategie vorstellt. Diese Formel beinhaltet die zuvor beschriebenen Prozesse und m und die deterministische bedingte Kovarianzfunktion von t. Wir spezialisieren uns auf die Formel für die optimale Handelsstrategie für die logarithmischen und die Energieversorgungsfunktionen. In Abschnitt 5 wird der Beweis des Hauptsatzes vorgestellt. Der Beweis selbst wird auf mehrere Lemmata zerlegt. Der Anhang enthält den Beweis für ein Lemma und einen Satz in Abschnitt 4.
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